Álgebra: Cuádricas

Las cuádricas son superficies determinadas por una ecuación de la forma P(x, y, z, ..., n) = 0, donde P es un polinomio de grado 2 en las coordenadas x, y, z, ..., n. Por lo general se trabaja con las cuádricas en el espacio tridimensional real usual, con un sistema cartesiano de ejes XYZ.

Dentro de las más comunes se encuentran la esfera, el elipsoide, el paraboloide, el hiperboloide, el cilindro y el cono.

Apuntes

  • Apunte, Universidad de Valladolid
  • Apunte, Universidad Nacional del Nordeste 
  • Apunte, Universidad de Sevilla
  • Apunte, Universidad de La República (I)
  • Apunte, Universidad de La República (II)
  • Apunte, Universidad de Buenos Aires 
  • Apunte, Universidad Nacional Autónoma de México 
  • Apunte, Universidad de Jaén 
  • Apunte, Universidad Politécnica de Cartagena 
  • Apunte, Universidad de Málaga 
  • Apunte, Wolfram Math World 
  • Apunte, University of Minnesota  
  • Apunte, Kennesaw State University  
  • Apunte, Buttler Community College 
  • Apunte, The University of South Dakota 
  • Apunte, Norwich University 
  • Apunte, Clemson University 
Ejercicios resueltos
  • Ejercicios, de  http://www-ma3.upc.es/  
  • Ejercicios, de http://talleresdematematica.blogspot.com.ar/2009/05/ejemplos-de-cuadricas.html
  • Ejercicios, Universidad de Sevilla
  • Ejercicios, Sun Yat Sen University

Álgebra: Secciones cónicas

Las seccione cónicas nacen de las diversas intersecciones entre un cono y un plano; entre ellas se encuentran la parábola, la elipse, la circunferencia y la hipérbola.
Estas curvas son ampliamente estudiadas en álgebra. Existen operaciones como la rotación y traslación que permiten un mejor manejo de las mismas

Apuntes
  • Apunte, Universidad Politécnica de Cartagena
  • Apunte, Universidad Nacional de La Plata
  • Apunte, Universidad de Chile 
  • Apunte, Universidad Católica de Valparaíso 
  • Apunte, Universidad de Antioquía 
  • Apunte, Universidad Complutense de Madrid 
  • Apunte, Universidad de Valladolid
  • Apunte, Universidad del País Vasco
  • Apunte, Universidad Politécnica de Cataluña
  • Apunte, Universidad Nacional Autónoma de México 
  • Apunte, Universidad de Costa Rica 
  • Apunte, Wolfram Math World
  • Apunte, Cálculo, de Stewart 
  • Apunte, Metropolitan State College of Denver 
  • Apunte, Andrews University 
  • Apunte, Bellevue College
Ejercicios Resueltos
Rotación de cónicas

Apuntes
 Rototraslación de cónicas
  • Apunte, Universidad Tecnológica Nacional, San Nicolás 
  • Apunte, Universidad Tecnológica Nacional, Buenos Aires
  • Apunte, Universidad Tecnológica Nacional, Avellaneda
Ejercicios resueltos
Videos (Khan Academy)

Introducción a las cónicas





Parábolas



Circunferencias





Elipses




Hipérbolas





Álgebra: Eigenvalores y Eigenvectores

También llamados autovalores y autovectores; por lo general son el último tema a estudiar en los cursos de álgebra lineal introductoria. Se tratan a menudo en ingeniería y ciencias exactas, siendo su uso en ciencias económicas menos frecuente.

Apuntes
Videos de Khan Academy




Álgebra: Transformaciones Lineales

Es el tema siguiente a subespacios, y la base para todo el tema de trasformaciones. El mismo se ve en análisis vectorial en muchos aspectos.

Apuntes

Videos (Khan Academy)




Álgebra: Aproximación de Padé

La aproximación de Padé es un método con el que se aproxima un conjunto de datos mediante una función racional.

Apuntes
  • Apunte, Universidad Carlos III de Madrid
  • Apunte, Wolfram Math World
  • Apunte, Vanderbilt University
  • Apunte, University of Colorado
  • Apunte, Fullerton University
  • Apunte, University of Twente
  • Apunte, University of Antwerp
Videos

Álgebra: Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados es un proceso matemático mediante el cual, dado un conjunto de datos en forma de pares ordenados, se busca la función que mejor se aproxime a los mismos.

Apuntes
  • Apunte, Universidad Nacional de Quilmes
  • Apunte, Universidad del País Vasco 
  • Apunte, Universidad de Cantabria
  • Apunte, Universidad Michoacana San Nicolás de Hidalgo
  • Apunte, Universidad de Valencia   
  • Apunte, Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco  
  • Apunte, Universidad de Sevilla   
  • ApunteInstituto Tecnológico Superior de Calkiní
  • Apunte, University of Texas at Dallas    
  • Apunte, Wolfram Math World  
  • Apunte, Stanford University 
  • Apunte, Duke University  
  • Apunte, College of the Redwoods 
Videos (Khan Academy)




Álgebra: proceso de Gram-Schmidt

El proceso de ortonormalización de Gram_Schmidt consiste en construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes en R^n , otro conjunto ortonormal de vectores que generen el mismo subespacio vectorial.

Apuntes
  • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey 
  • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey (II)
  • Apunte, Universidad de Los Andes 
  • Apunte, Universidad de Málaga 
  • Apunte, Universidad Carlos III
  • Apunte, Universidad de Navarra
  • Apunte, Universidad Autónoma de Baja California
  • Apunte, Álgebra Lineal, Bernard Kolman 
  • Apunte, Fundamentos de Álgebra Lineal y Aplicaciones, José Antonio Moraño 
  • Apunte, Universidad del Valle de Guatemala, Carlos López
  • Apunte, Universidad de Girona
  • Apunte, Universidad del País Vasco
  • Apunte, Universidad de Chile
  • Apunte, Universidad Católica Argentina
  • Apunte, Wolfram Math World 
  • Apunte, Pennsylvania State University 
  • Apunte, University of California, Berkeley 
Ejercicios resueltos
Videos (Khan Academy)




Álgebra: Subespacios vectoriales

Los subespacios son el tema siguiente a matrices y determinantes en el álgebra introductoria.

Apuntes
Videos (Khan Academy)




Álgebra: Determinantes

Un tema de los más importantes, se ve inmediatamente después de matrices.


Apuntes y ejercicios


Videos (Khan Academy)




Cómo calcular veterminantes en WolframAlpha: vea este enlace

    Álgebra: Factorización de Cholesky

    La factorización de Cholesky consiste en expresar una mariz como producto de una matriz triangular inferior y su conjugada transuesta.

    Apuntes

    • Apunte, Universidad Nacional Autónoma de México 
    • Apunte, Universidad de Puerto Rico 
    • Apunte, Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo 
    • Apunte, Wolfram Math World
    • Apunte, University of Waterloo 
    • Apunte, Max Planck Institute 
    • Apunte, Santa Clara University 
    • Apunte, Swarthmore College 
    • Apunte, Ferris State University 
    • Apunte, University of California Los Angeles 
    Ejercicios

    Cómo realizar la factorización de Cholesky de una matriz en Wolfram Alpha

    Escribimos cholesky decomposition, seguido de la fórmula de la mariz, escrita entre llaves con sus respectivas filas.

    Ej, para la matriz



    escribimos cholesky decomposition {{2,-1,0},{-1,2,-1},{0,-1,2}}

    con el resultado



    Álgebra: descomposición QR

    La descomposición (o factorización) QR de una matriz consiste en expresar la misma como producto de una matriz ortogonal por una triangular superior.

    Apuntes

    • Apunte, Universidad de La República 
    • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey 
    • Apunte, Universidad de Valencia 
    • Apunte, Universidad de Murcia 
    • Apunte, Wolfram Math World  
    • Apunte, Universidad de Puerto Rico
    • Apunte, Universidad Nacional Autónoma de México 
    • Apunte, Stanford University 
    • Apunte, Wolfram Math World 
    • Apunte, University of California Los Angeles 
    • Apunte, Swiss Federal Institute of Technology 
    • Apunte, Rice University 
    Ejercicios

    Cómo realizar la factorización QR de una matriz en Wolfram Alpha

    Escribimos QR decomposition seguido de la matriz; la misma la indicamos entre llaves, con sus filas entre llaves también.

    Ej; la descomposición QR de 




    se escribe QR decomposition {{1,2},{3,4},{5,6}}

    con el resultado


    Videos

    Álgebra: Factorización LU

    La factorización LU de una matriz (Lower-Upper) consiste en escribirla como producto de una matriz triangular inferior y otra triangular superior. Se utiliza mayormente para la resolución de sistemas de ecuaciones, búsqueda de matriz inversa o el cálculo de determinantes.

    Apuntes

    • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey
    • Apunte, Universidad de Valencia 
    • Apunte, Universidad de Puerto Rico
    • Apunte, Universidad Nacional de Colombia 
    • Apunte, Universidad de Guadalajara 
    • Apunte, Universidad de Almería 
    • Apunte, Universidad Nacional del Sur 
    • Apunte, Universidad de Granada 
    • Apunte, Wolfram Math World 
    • Apunte, The University of Texas at Dallas  
    • Apunte, Ohio University
    • Apunte, California State University
    Cómo utilizar la factorización LU en Wolfram Alpha

    En  primer lugar escribimos "LU decomposition of" seguido de la matriz. Ésta se escribe entre llaves (toda la mariz) con cada fila colocada entre llaves, los valores separados por comas. 

    Ej, la factorización LU de



    se escribe LU decomposition of {{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}

    con el resultado




    Videos

    Álgebra: Matrices

    Las matrices son uno de los temas más difundidos en matemática por su gran utilidad en muchos campos. La bibliografía que puede encontrarse del tema es muy extensa, no tendrán problemas en hallarlas en la mayoría de los libros. Algunos textos sugeridos:

    Cómo operar con matrices en WolframAlpha

    Las matrices se escriben fila por fila con corchetes entre ellas. Se separan por comas y a toda la matriz se le coloca otro corchete.
    Ej; la matriz

    se escribe

    {{6, -7, 10},{0,3,-1},{0,5,-7}}

    Al escribirla, el programa da las propiedades básicas de la matriz.

    Aritmética 

    Las operaciones comunes entre matrices se escriben igual que para los números. Una vez que las escribimos (como vimos arriba), se colocan los operadores.

    Ej:
    se escribe

    {{0,-1},{1,0}}.{{1,2},{3,4}}+{{2,-1},{-1,2}}

    Ej:


    escribimos: {{2,-1,1},{0,-2,1},{1,-2,0}}.{x,y,z}

    Rango

    escribimos matrixrank (o rank) y la fórmula de la matriz.

    Ej;
    se escribe: matrixrank {{6, -11, 13}, {4, -1, 3}, {3, 4, -2}}

    Inversa

    se pone inv o inverse y la fórmula
    ej:


    ponemos: inv {{10, -9, -12}, {7, -12, 11}, {-10, 10, 3}}

    Determinantes

    colocamos det (fórmula de la matriz) (la fórmula entre paréntesis)
    ej:

    se escribe: det({{9, 3, 5}, {-6, -9, 7}, {-1, -8, 1}})


    Trazas
    ponemos tr y la fórmula

    ej:

    ponemos: tr {{9, -6, 7}, {-9, 4, 0}, {-8, -6, 4}}

    Eigenvalores

    es eigenvalues (fórmula de la matriz)

    ej;
    ponemos  eigenvalues {{4,1},{2,-1}}

    Eigenvectores 

    Al igual que en anterior, eigenvectors (fórmula).
    ej;
    es: eigenvectors {{1,0,0},{0,0,1},{0,1,0}}


    Video (Khan Academy)






    Álgebra: Números complejos

    Los números complejos están presentes en la mayoría de los cursos de álgebra, siendo indispensables en carreras de ingeniería y ciencias exactas.

    Apuntes

    Cómo operar con números complejos en WolframAlpha

    (con números z = a + bi, w = c + di)

    Aritmética básica
    Se escriben los números de la forma z = a + bi, luego los símbolos comunes.

    Suma: (a + bi) + (c + di)  

    Resta: (a + bi) - (c + di)  

    Producto: (a + bi)(c + di)  

    División: (a + bi)/(c + di)  

    Potencia: (a + bi)^n, con n entero

    Raíces de complejos
    Escribimos tal cual la fórmula normal

    Raíz cuadrada: sqrt(a + bi)

    Raíz n - ésima: (a + bi)^(1/n)   (se escribe como potencia)

    Funciones de números complejos
    Dada una función f ( z ), f: C --> C, se ingresa la fórmula de la función (y las operaciones que querramos hacer con ella) al igual que las funciones de variable real.

    ej, f ( z ) = e^z (exponencial compleja)

    escribimos e^z

    Cálculo de residuo en un punto

    Para f : C --> C, f ( z ), en un punto a, ingresamos:

    residue of f ( z ) at z = a

    ej; con f ( z ) = 1/(z^2+4)^2 y a = 2i, ponemos:

    residue of 1/(z^2+4)^2 at z=2i

    Videos (Khan Academy)







    Álgebra: sobre vectores

    En los cursos de álgebra uno de los primeros temas que se abordan son los vectores, importantísimos para la física y ampliamente estudiados en Análisis Matemático también.

    Apuntes

    Cómo calcular vectores en WolframAlpha

    Ejemplificamos con vectores en R3; igualmente valen para todas las dimensiones.

    Información sobre un vector

    Para un vector v = ( x , y, z ) en coordenadas cartesianas, donde x, y, z son sus valores, se escribe

    vector (x ,y ,z ) o también con corchetes: vector {x ,y ,z}

    Operaciones

    Se escribe tal cual en la fórmula común:

    Suma y resta
    (a, b, c) - (d, e, f)  o (a, b, c) + (d, e, f)

    Producto por escalar
    k (a, b, c)

    Producto escalar: se coloca punto entre los dos vectores
    (a, b, c) . (d, e, f)

    Producto vectorial (sólamente en R3): podemos poner

    cross product {a, b, c}  {d, e, f}

    o simplemente con la cruz:
    {a, b, c}  x {d, e, f}

    Ángulo entre dos vectores

    escribimos vectorangle ((a,b,c), (d,e,f))



    Videos (Khan Academy)

    Acerca de álgebra

    Esta rama de la matemática es una de las fundamentales; básicas para todo estudiante de ciencias exactas, económicas e ingeniería. En esta entrada algunos apuntes por universidad.


    Apuntes útiles


    Cómo graficar en WolframAlpha

    Para graficar sin necesidad de bajarse un programa podemos contar con Wolfram Alpha. A continuación, cómo representar distintos objetos.

    En todos los casos debemos anteponer la palabra plot (o graph) a la fórmula general.

    Funciones de forma f : R --> R, sin rango
    ej; el gráfico de  x^3 - 6x^2 + 4x + 12 se escribe
     plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12
    y se dibuja:

    Funciones de forma f : R --> R, con rango definido [a,b]

    Se pone plot f ( x)  from x = a to b
    ej; gráfico de f ( x ) = e^x  entre [0,10]
    plot e^x from x=0 to 10


    Graficar varias funciones de forma f : R --> R
    Dadas funciones f : R --> R, g : R --> R, h : R --> R, ..., etc, escribimos plot y las fórmulas separadas por coma
    plot  f ( x ), g( x ), h ( x )
    ej, gráfico de sin x, cos x, tan x.
    plot sin x, cos x, tan x
    Funciones f : R --> R en escala logarítmica

    Anteponemos log al resto de la entrada.
    ej; log plot e^x-x

     Para la variante lineal anteponemos log- linear
    ej: log-linear plot x^2 log x, x=1 to 10

    Funciones f : R^2 --> R; gráficos en tres dimensiones

    Ponemos plot y la fórmula de f ( x , y )
    ej: gráfico de f ( x , y ) =  sin (x) * cos (y) es plot sin x cos y

    Para un rango específico en cada variable escribimos a continuación de la fórmula anterior: x = a...b, y = c...d,  siendo que a < x < b, c < y < d.
    ej; plot x^2 y^3, x=-1..1, y=0..3

    Ecuaciones de una o más variables

    El gráfico representa los puntos solución de la misma.
    ej; 3x^2-2xy+y^2=1; ponemos plot 3x^2-2xy+y^2=1 y queda:
    Inecuaciones de una o más variables

    ej; |x|^3+|y|^3<1, se coloca plot |x|^3+|y|^3<1  y queda:

    También podemos poner varias inecuaciones (útil para el método simplex y programación lineal):
    ej;  x^2+y^2<1 e  y>x; se pone plot x^2+y^2<1 and y>x


    Ecuaciones polares

    Anteponemos las palabras polar plot a la ecuación. Dada la función r = f ( tita ), escribimos
    polra plot r = = f ( tita )
    ej: 



    Si queremos un rango específico de la función, lo ponemos como theta = a to b
    ej;
     
    Funciones paramétricas f : R -- > R^n

    Ponemos parametric plot y la fórmula.
    ej; parametric plot (cos^3 t, sin^3 t)
     
     Para un rango específico donde a < t < b, ponemos la misma fórmula y al final t = a...b
    ej; parametric plot (sin 10t, sin 8t), t=0..2pi