Las series son el tema siguiente a sucesiones; de igual o mayor importancia que éstas. Son imprescindibles en todo curso de iniciación a la matemática.
se escribe sum j^2, j=1 to 100 y da por resultado 338350
para z = 0. Para un zo cualquiera
para z = 0, y para zo cualquiera:
ej;
Apuntes
- "Cálculo I" de Larson, capítulo 8
- Variable Compleja y Aplicaciones, Ruel V. Churchill . Trata acerca de los números complejos; incluye series de laurent y taylor (especificos para desarrollar funciones de complejos, de la forma f ( z ) : C --> C ).
- Apunte, Universidad de Zaragoza
- Apunte, Universidad Central de Venezuela
- Apunte, Universidad de Vigo
- Apunte, Universidad de Cantabria
- Apunte, Escuela Superior Politécnica del Litoral
- Apunte, Universitat Oberta de Catalunya
- Apunte, Universidad de Castilla
- Apuntes, Universidad del País Vasco
- Apunte, Universidad Rey Juan Carlos
- Apunte, Universidad de Málaga
- Apunte, Universidad de Coruña
- Apunte, Universidad Politécnica de Madrid
Video (Khan Academy)
Cómo calcular series en Wolfram Alpha
Sumas finitas
Dado que una serie es una suma infinita de términos, primero mostraremos cómo calcular una suma finita de números (la sumatoria).
Para un intervalo fijo
Colocamos la palabra "sum", luego el término general de la sumatoria y después el rango en el que se sumará. Este último se escribe (ej, si el rango va de "a" a "b") "j = a to b"
ej;
Para un intervalo no especificado
Ponemos "sum", el término general, y en el intervalo comocamos "j = a to n", siendo n un número natural cualquiera variable. Lo que aparece es una tabla con los valores de la suma según el valor de n.
ej;
sum x^k, k=0 to n
Suma incompleta de términos específicos
Se colocan algunos números a sumar, luego tres puntos y finalmente el término final.
ej:
1+2+3+...+10
queda:
Series infinitas
Es similar a lo anterior. Se escribe "sum", el término de la fórmula y luego "n = a to infinity", siendo n la variable del término general de la serie.
ej:
sum 1/n^2, n=1 to infinity
es
También puede escribirse el infinito como dos "o minúsculas" juntas.
ej;
sum x^k/k!, k=0 to +oo
es:
Para una suma que abarque todos los enteros (de menos infinito a mas infinito) se procede de dos formas.
Una es escribir el intervalo como es (de menos infinito a mas infinito).
ej;
sum 1/(1+n^2), n=-oo to +oo
La otra forma es poner "sum" y el término.
ej:
sum 1/n^2
Podemos, al igual que las sucesiones, escribir una suma de términos inconclusa y colocar tres puntos al final. Wolfram lo interpreta como serie infinita.
ej:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Series de Taylor
Desarrollo de taylor de una función f ( x ) : R --> R
Ponemos "taylor series" o "series" y la fórmula f ( x ). Es importante poner "x" en la variable de la fórmula; de esta forma wolfram la interpreta como una variable real.
ej: para f ( x ) = sin ( x ) se pone taylor series sin x
aparece la expasión de la serie en x = 0
y para un x = zo cualquiera
entre tantas representaciones que aparecen.
Para un x = a específico se pone series f ( x ) at x = a.
ej; series sin x at x=pi/4
para x = pi/4 es
para un zo cualquiera:
Si se quiere mostrar un orden específico "a" ponemos lo mismo que antes y las palabras "to order a".
ej;
series sin x to order 7
para x = 0, y para zo;
Si queremos especificar tanto el punto como el orden de la serie, lo indicamos tal cual. Primero el punto y luego el orden.
ej; series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10
queda para un x = n:
Series de Laurent (funciones de la forma f ( z ) : C --> C )
Trabajamos con estas funciones de la misma forma que con las de taylor, la diferencia principal es que las variables son números complejos. Por ende colocamos "z" en su lugar. Podemos poner "laurent series" o "series"; lo importante es siempre colocar "z"
ej:
series cot z
ej:
series (sin z)/z^3 to order 10
Series de Fourier
Se procede igual que en los otros casos. Anteponemos "fourier series" a la función.ej;
fourier series x
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