Análisis I: Series

Las series son el tema siguiente a sucesiones; de igual o mayor importancia que éstas. Son imprescindibles en todo curso de iniciación a la matemática.

Apuntes
Video (Khan Academy)





Cómo calcular series en Wolfram Alpha

Sumas finitas

Dado que una serie es una suma infinita de términos, primero mostraremos cómo calcular una suma finita de números (la sumatoria).

Para un intervalo fijo

Colocamos la palabra "sum", luego el término general de la sumatoria y después el rango en el que se sumará. Este último se escribe (ej, si el rango va de "a" a "b") "j = a to b"
ej;
se escribe sum j^2, j=1 to 100 y da por resultado 338350

Para un intervalo no especificado

Ponemos "sum", el término general, y en el intervalo comocamos "j = a to n", siendo n un número natural cualquiera variable. Lo que aparece es una tabla con los valores de la suma según el valor de n.
ej;
sum x^k, k=0 to n

Suma incompleta de términos específicos

Se colocan algunos números a sumar, luego tres puntos y finalmente el término final.
ej:
1+2+3+...+10
queda:

Series infinitas

Es similar a lo anterior. Se escribe "sum", el término de la fórmula y luego "n = a to infinity", siendo n la variable del término general de la serie.
ej:
sum 1/n^2, n=1 to infinity
es
También puede escribirse el infinito como dos "o minúsculas" juntas.
ej;
sum x^k/k!, k=0 to +oo
es:
Para una suma que abarque todos los enteros (de menos infinito a mas infinito) se procede de dos formas.
Una es escribir el intervalo como es (de menos infinito a mas infinito).
ej;
sum 1/(1+n^2), n=-oo to +oo

 La otra forma es poner "sum" y el término.
ej:
sum 1/n^2

Podemos, al igual que las sucesiones, escribir una suma de términos inconclusa y colocar tres puntos al final. Wolfram lo interpreta como serie infinita.
ej:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Series de Taylor
Desarrollo de taylor de una función f ( x ) : R --> R

Ponemos "taylor series"  o "series" y la fórmula f ( x ). Es importante poner "x" en la variable de la fórmula; de esta forma wolfram la interpreta como una variable real. 
ej: para f ( x ) = sin ( x ) se pone taylor series sin x
aparece la expasión de la serie en x = 0

y para un x = zo cualquiera

entre tantas representaciones que aparecen.

Para un x = a específico se pone series f ( x ) at x = a.
ej; series sin x at x=pi/4
para x = pi/4 es

para un zo cualquiera:
Si se quiere mostrar un orden específico "a" ponemos lo mismo que antes y las palabras "to order a".
ej;
series sin x to order 7
para x = 0, y para zo;
Si queremos especificar tanto el punto como el orden de la serie, lo indicamos tal cual. Primero el punto y luego el orden.
ej; series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10
queda para un x = n:

Series de Laurent (funciones de la forma f ( z ) : C --> C )
Trabajamos con estas funciones de la misma forma que con las de taylor, la diferencia principal es que las variables son números complejos. Por ende colocamos "z" en su lugar. Podemos poner "laurent series" o "series"; lo importante es siempre colocar "z" 
ej:
series cot z
para z = 0. Para un zo cualquiera

ej:
series (sin z)/z^3 to order 10
para z = 0, y para zo cualquiera:


Series de Fourier
Se procede igual que en los otros casos. Anteponemos "fourier series" a la función.
ej;
fourier series x



Análisis I: Sólidos de revolución

Los sólidos de revolución son muy comunes en la industria y en los objetos cotidianos; son simples de calcular mediante integrales de funciones univariables.

Apuntes

  • Apunte, Amazon.com
  • Apunte, Universidad Nacional de La Plata
  • Apunte, Universidad Nacional de Colombia
  • Apunte, Instituto Tecnológico de Puebla
  • Apunte, Escuela Superior Politécnica del Litoral
  • Apunte, Universidad de Murcia
  • Apunte, Universidad de Antioquia
  • Apunte, Wolfram Math World
  • Apunte, Dartmouth College
  • Apunte, University of Graz
  • Apunte, University of Rochester

Videos (Khan Academy)








Análisis I: Integrales

Apuntes

Cómo calcular integrales en WolframAlpha


Integrales de funciones f : R --> R  

Integrales indefinidas

Dada f ( x ) con su diferencial dx, podemos escribir:

integrate f ( x ) dx , o

int f ( x ) dx

ej; con f ( x ) = 3x^2, colocamos

integrate 3x^2





Integrales definidas

Dada f ( x ), con dx como diferencial y el intervalo ( a , b ) del que queremos integrar, escribimos:

int f ( x ) dx, x = a .. b

(es importante colocar los dos puntos entre a y b para que se tome todo el intervalo)

Se puede colocar también

integrate f ( x ) dx   from a to b


ej; con f ( x ) = 3x^2 entre 1 y 2, colocamos

integrate 3x^2  dx from 1 to 2




Integrales múltiples (para funciones de varias variables)

Dada una función de la forma f : R^n --> R, tenemos n variables independientes con sus respectivos diferenciales (x, y, ..., n con dx, dy, ..., dn). Ejemplificaremos con el caso de las integrales dobles; las triples y de orden superior se calculan de forma análogas a éstas

Dada f : R^2 --> R,   f ( x , y ) y el intervalo a < x < b, c < y <d, escribimos:

integrate f ( x , y ) dx dy, x = a..b, y = c..d

o también

int f ( x , y ) dx dy, x = a to b, y = c to d    (reemplazamos el doble punto con "to").


ej; con f ( x ) = 3x^2 + 2y , con 1 < x < 3, 2 < y < 4, colocamos

integrate 3x^2 + 2y, x = 1..3, y =2..4




El orden de los diferenciales es indistinto, siempre que se integre en ambas variables respetando los intervalos.

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Análisis I: Polinomios de Taylor y Mac Laurin

El polinomio de Taylor es una aproximación a una función de variable real mediante el uso de derivadas. Es de gran utilidad para simplificación de funciones y sus resultados. El polinomio de Mac Laurin es un caso especial del polinomio de Taylor, donde el punto que se analiza es el cero.

Apuntes
  • Apunte, Universidad de Valladolid
  • Apunte, Escuela Politécnica del Ejército, Ecuador
  • Apunte, Instituto Artigas, Uruguay
  • Apunte, Universidad de La Laguna
  • Apunte, Universidad de Málaga
  • Apunte, Universidad de Jaén
  • Apunte, Universidad de Cantabria
  • Apunte, Universidad de Alcalá de Henares
  • Apunte, Universidad de Buenos Aires
  • Apunte, Universidad Politécnica de Cartagena
  • Apunte, Universidad Nacional de La Plata
Cómo calcular los Polinomios de Taylor en Wolfram Alpha

Para aproximar funciones en el punto x = 0, simplemente escribimos "taylor series" seguido de la fórmula de la función.
Ej, para aproximar f (x) = sin x, escribimos
taylor series sin x
con el resultado
 

pudiendo aproximarse hasta el orden que se desee. Podemos poner "more terms" o "fewer terms", según el grado de aproximación buscada.

Para un punto x distinto del cero escribimos "series", seguido de la fórmula de la función y finalmente "at x =", con el número de x deseado.
Ej, la aproximación de f ( x ) = sin(x) en x = pi/4 se escribe:
series sin x at x=pi/4
con el resultado

Para especificar tanto el punto como el orden de la aproximación, escribimos "series", la fórmula, "at x = ", "to order ".
Ej, para f ( x ) = (sin x)/(x-pi) en x =pi de orden 10, escribimos
series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10
resultando

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Análisis I: Problemas de optimización

Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas es resolver problemas por optimización, encontrando las cantidades mínimas y máximas de alguna variable particular.

Apuntes


Videos (Khan Academy)




Análisis I: regla de L´Hopital

La regla de L´Hopital es de gran ayuda en el cálculo de límites con ayuda de las derivadas.

Apuntes

  • Apunte, Universidad de Zaragoza
  • Apunte, Instituto Superior Tecnológico de Calkiní
  • Apunte, Universidad de Granada
  • Apunte, Universidad del País Vasco
  • Apunte, Universidad de Coruña
  • Apunte, Universidad Nacional de Santiago del Estero
  • Apunte, Universidad de Sevilla
  • Apunte, Universidad de Chile
  • Apunte, Oregon State University
  • Apunte, Penn State University
  • Apunte, Swarthmore College
  • Apunte, Millersville University
  • Apunte, University of Houston
  • "L´Hospital Rule", Wolfram Math World


Videos (Khan Academy)





Análisis I: regla de la cadena para derivación de funciones univariables

La regla de la cadena es una importante herramienta en el cálculo de derivadas, tanto de una como de varias variables.

Apuntes

  • Capítulo 2, Cálculo Larson
  • Capítulo 10, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
  • "Chain Rule"; Wolfram Math World
  • Apunte, Universidad de Antofagasta
  • Apunte, Universidad Ancalá de Henares
  • Apunte, Universidad de Huelva
  • Apunte, Universidad Autónoma Metropolitana
  • Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
  • Apunte, Universidad Nacional de La Plata
  • Apunte, MIT
Videos (Khan Academy)




Análisis I: introducción a las Derivadas

El concepto de derivada es, luego de los límites, el más importante en las materias de análisis. Amplía el conocimiento y la utilidad que tienen las funciones tanto en su estudio teórico como en sus aplicaciones a problemas reales.
Apuntes




Cómo calcular derivadas en Wolfram Alpha

Derivadas de una funcion f : R --> R

Dada una función f ( x )
 - Si se quiere calcular la función derivada (general, para un punto cualquiera x)se puede escribir de dos maneras.

derivative of  f ( x )
d/dx f ( x )

si se busca la derivada en un punto x = a:

derivative of f ( x ), x = a
d/dx f ( x ), x = a

ej; derivada de f ( x ) = 2 (x^2)
se escribe : derivative of 2 (x^2)



o también d/dx 2 (x^2)


Derivadas sucesivas

Para hallar derivadas sucesivas (de segundo, tercer, ..., n orden) se coloca:
n derivative of f ( x )
o sino : d^n / dx^n f ( x )

ej; derivada segunda de f ( x ) = 4x^5 + 2x^2:
second derivative of 4x^5 + 2x^2




d^2/dx^2 4x^5 + 2x^2

para las derivadas definidas en un punto x = a se escribe:
second derivative of f ( x ) where x = a
d^n/dx^n f ( x ) where x = a


ej: second derivative of 4x^5 + 2x^2 where x = 2



 Resultado: 644



Derivadas de funciones de varias variables: funciones de tipo f : R^n --> R

Derivadas Parciales

Se expresan de manera similar:

ej, dada una función f ( x , y ) escribimos:

d/dx f ( x , y ) 
o d / dy  f ( x , y )

Derivadas parciales sucesivas

d/dx d/dy f ( x , y )    (derivadas parciales cruzadas)

ej: d/dx d/dy 4x^5 + 2x^2 + 3y




d^2/dx^2  f ( x, y )    (derivadas parciales iteradas)

ej  d^2/dx^2 (4x^5 + 2x^2 + 3y)





Derivadas direccionales

Dada la dirección ( a , b ) para un punto cualquiera escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b )


ej: directional derivative (4x^5 + 2x^2 + 3y) in the direction ( 1 , 1 )


resultado


Para una dirección ( a , b ) y el punto ( c , d ) escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b ), where x = c, y = d

Derivadas de funciones vectoriales: funciones de tipo f : R --> R^n

Dada la función f ( t ) = (f t1 ; f t 2 ; ... ; f t n), escribimos:

d/dt f ( t )    (para un punto general)
d/dt f ( t ) where x = a, para un punto a

ej; derivada de f ( t ) = ( 3t ; 9 t^2 ; 5), con t = 9, se escribe: 
d/dt  (3t; 9t^2; 5) where t = 9




El programa muestra un análisis completo de la función derivada. En el botón "Show steps" se muestran los pasos por los cuales se realizó el cálculo.

Videos (Khan Academy)







Análisis I: sucesiones

Las sucesiones entran dentro de los temas básicos de matemática introductoria. Su cálculo es sencillo, de fácil manejo y son la base para el tema siguiente de series.

Apuntes
Videos(Khan Academy)





Cómo calcular sucesiones en WolframAlpha

La sucesión puede definirse como una función f ( n ) : (N u 0) -- > R. Es decir, con un dominio de números naturales (más el cero) y una imagen de números reales. Si la consideramos así el análisis es similar al de funciones de forma  f ( x ) : R -- > R.

Se escribe la fórmula de la sucesión y luego la palabra sequence.
f ( n ) sequence
ej; sucesión 2n
2n sequence
aparece esta tabla
que indica cómo evoluciona la función según los valores de n. El resto del análisis es idéntico al de funciones comunes.

ej: f ( n ) = n!
n! sequence

ir a http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%21+sequence para un análisis completo

Límite de una sucesión

Para una sucesión de la forma f ( n ) : N -- > R el límite se escribe igual que para las funciones comunes.
ej;
limit (1+1/n)^n as n->infinity

Reconocimiento del término f ( n )

Si se ingresa una secuencia de números separadas por coma, wolfram tratará de reconocer el término general de la misma.
ej;
es la sucesión



Análisis I: acerca de límites

El concepto de límite es el más fundamental en la introducción al cálculo y da lugar a otros tales como derivadas e integrales.

Apuntes
  • "Limit": WolframMath World
  • Capítulo I, "Cálculo", Larson
  • Apunte I y II, UCA
  • Apunte, Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales
  • Apunte, Universidad autónoma Metropolitana
  • Apunte, Instituto de Tecnologías Educativas
  • Apunte, Lamar University 
  • Apunte, UNAM
  • Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
  • Apunte, Scribd.com
Ejercicios


Cómo calcular límites en Wolfram Alpha

Para una función f ( x )

El límite de f ( x ) tendiendo a un número x = a , se escribe:

limit  f ( x ) as x -> a

ej;  limite de f ( x ) = 3x^2 - 2 cuando x = 3

limit 3x^2 - 2 as x -> 3


queda


Para una función de dos variables  f ( x , y )

El límite de una función f ( x , y ) tendiendo a un número X = ( a , b ), con x = a, y = b, se escribe:

limit f ( x , y ) as x -> a, y-> b

ej: limite de f ( x , y ) = x / (x^2 + y^2)^(1/2) en ( 0 , 0 ):

limit x / (x^2 + y^2)^(1/2) as x -> 0, y-> 0

queda:

con el resultado:

Para funciones con más variables se calcula de manera análoga a las funciones de dos variables.

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Análisis I: Polinomios

Los polinomios entran dentro de los temas fundamentales del álgebra y análisis matemático; no se puede empezar uno de estos cursos sin conocer estos objetos ni las propiedades que presentan.

Cómo operar con polinomios en WolframAlpha

Operaciones

Ingresando simplemente la fórmula del polinomio obtenemos las propiedades básicas del mismo.

Polinomios de una y  varias variables

Ej, dado un polinomio 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2, ingresamos la fórmula.
Ej, dado un polinomio de dos variables x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3, hacemos lo mismo

Factorización

Se ingresa factor y luego la fórmula. Vale para una y más variables

ej; factor 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2

Mayor común divisor de dos polinomios

Escribimos gcd y la fórmula de los dos polinomios separadas por coma

ej: gcd x^4-9x^2-4x+12, x^3+5x^2+2x-8

Expansión (expresar un polinomio factorizado de forma expandida)

Ponemos expand y la fórmula. Vale para una y más variables.

ej; expand (x^2 + 1)(x^2 - 1)(x+1)^3
ej; expand (x + y + z)^10
 Resolución de ecuaciones polinómicas

Para un polinomio P de una o más variables, de forma P = d, siendo d un número real, escribimos la ecuación.
 ej: x^3 - 4x^2 + 6x - 24 = 0 (esta forma sirve también para averiguar las raíces de los mismos).

Para dos polinomios P y Q, de una o más variables en forma de ecuación (P = d, Q = e, e y d son reales), y buscamos la solución común entre ambos, escribimos las dos ecuaciones separadas por coma.

P = d, Q = e

ej; x^2+y^2=1, (x-2)^2+(y-1)^2=4 (podemos usar esta forma para resolver sistemas de ecuaciones; más adelante entraremos en el tema).


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