Análisis II: geometría del espacio euclídeo y parametrizaciones

El cálculo y álgebra vectorial nos introducen a variables más amplias de las conocidas coordenadas cartesianas. Es necesario conocerlas para una mejor comprensión de la materia, entre ellas tenemos a las polares, cilíndricas y esféricas.

Las parametrizaciones son otras formas de representar objetos matemáticos, diferentes de las conocidas funciones.

Algunos apuntes

Videos (Khan Academy)

Coordenadas polares


Ecuaciones paramétricas


Parametrización de superficies


Videos: Demostraciones de fórmulas geométricas (cónicas y cuádricas)

Circunferencia
Con centro en el origen


Con centro fuera del origen

 

Elipse

Con centro en el origen

 





Parábola

Vertice fuera del origen

 Hiperbola


Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas: ,

Análisis II: máximos y mínimos en funciones multivariables

Una de las aplicaciones más extendidas en funciones de varias variables es la optimización; encontrar los puntos máximos y mínimos, estén sujetos a restricciones o no.


Apuntes y ejercicios
Sobre los multiplicadores de Lagrange
  • Apunte, University of South Dakota
  • Apunte, Universidad de Cantabria
  • Apunte, Universidad de Sevilla
  • Apunte, Universidad de Jaén
  • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey
  • Apunte, Iowa State University
  • Apunte, Wolfram Math World
  • Apunte, University of Michigan
  • Apunte, Macquarie University 

Cómo calcular máximos y mínimos globales en WolframAlpha

Los ejemplos que ponemos a continuación son de funciones de forma f : R^2 --> R, z = f ( x , y ). No obstante, valen para todas las funciones f : R^n --> R. Escribimos:

Para encontrar el/los máximo/s: "maximize" seguido de la función z = f ( x , y )
maximize z = f ( x , y )
ej, máximo de z = -(x^2 +y^2) se escribe maximize z = -(x^2 +y^2)


Para encontrar el/los minimo/s: "minimize" seguido de z = f ( x , y )
minimize z = f ( x , y )
ej, minimo de z = (x^2 +y^2) se escribe minimize z = (x^2 +y^2)


Cómo calcular máximos y mínimos sujetos a restricciones en WolframAlpha

Dada una función f : R^n --> R y otra función g : R^n --> R = c, siendo c una constante real, llamamos g a la restricción de la función f. Es posible hallar los extremos de f con esa restricción específica en lugar de buscarlos globalmente; esto se hace con los multiplicadores de Lagrange (también se mencionan en los apuntes).

Para los máximos: "maximize" seguido de la función "z = f ( x , y )" y luego "in g (x, y) = c".
maximize z = f ( x , y ) in g ( x , y ) = c
ej, maximize z = (x^2 +y^2) in x=5


Para los mínimos: "minimize" luego "z = f ( x , y )" y después "in g ( x , y )"
minimize z = ( x , y ) in g ( x , y ) = c
ej; minimize z = (x^2 +y^2) in x=5

Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas: ,

Análisis II: vectores relevantes en WolframAlpha

Cómo calcular el vector gradiente de una función en WolframAlpha


Dada una función de forma f : R^n --> R (un campo escalar), se define el gradiente como un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. Para calcularlo escribimos "grad" seguido de la fórmula de f.


grad f (x1, x2, ..., x n)


ej; con z = f ( x , y ) = sin ((x^2)*y)
escribimos grad sin ((x^2)*y)


También podemos expresar el gradiente de funciones con coordenadas polares. Escribimos "grad" y la fórmula, identificando " r " como el módulo del punto y "theta" como el ángulo formado.


ej; z = f ( x , y ) = sqrt(r) cos(theta)
ponemos grad sqrt(r) cos(theta).

Cómo calcular el laplaciano de una función en WolframAlpha

Escribimos "Laplace" seguido de la fórmula f ( x, y, ... z) de la función:
ej; para f ( x , y) = e^x sin y
ponemos Laplace e^x sin y

Cómo calcular la divergencia de un campo vectorial en WolframAlpha

Dado un campo vectorial de forma F : R^n --> R^m escribimos "div" seguido de la fórmula de F
ej; divergencia de F ( x , y ) = (x^2-y^2, 2xy)


se escribe div (x^2-y^2, 2xy)

Cómo calcular el rotacional de un campo vectorial en WolframAlpha

Dado un campo vectorial F : R^n --> R^m escribimos "curl" seguido de la fórmula de F
ej; rotacional de F ( x , y , z ) = (-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z)


se pone curl [-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z]

Un apunte útil: capítulo 4 de "Cálculo Vectorial" de marsden tromba

Videos de Khan Academy

Gradiente








Divergencia





Rotacional




Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas: ,

Análisis II: funciones implícitas y sus derivadas

Algunas las funciones que se estudian en el cálculo se dan en forma explícita; es decir, una variable está en función de la otra. Sin embargo gran parte de ellas no lo están sino en forma implícita, insertadas en una ecuación.
La derivación de las mismas se realiza con la regla de la cadena, aplicada en toda la ecuación. 
A continuación apuntes sobre las funciones, sus derivadas y el teorema de la función implícita.

Apuntes

Teorema de función implícita

  • Apunte, Universidad Autónoma de Madrid
  • Apunte, Universidad Politécnica de Cataluña
  • Apunte, Wolfram Math World 
  • Apunte, Rice University
  • Apunte, University of Alberta
  • Apunte, Tel Aviv University
  • Apunte, Princeton University
Derivación de funciones implícitas

Cómo calcular derivadas implícitas en Wolfram Alpha

Dada la ecuación que vamos a derivar, escribimos "implicit derivative" seguido de su fórmula.

Ej, con la circunferencia de centro (0,0) y radio 2 dada por x^2 y ^2 = 4 escribimos:

implicit derivative x^2 + y^2 = 4

quedando


por el procedimiento


y el resultado


Videos (Khan Academy)





Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas: ,

Análisis II: Funciones de varias variables y diferenciación

De los primeros temas de la materia. Introduce a las funciones escalares de dos y más variables, con sus correspondientes operaciones y propiedades. Vemos cómo calcular sus limites y qué es el concepto de diferenciación.

Apuntes
Videos (de Khan Academy)





Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas:

Análisis II: Funciones Vectoriales

Las funciones con valores vectoriales son aquellas cuya imagen es un vector. Su estudio deviene principalmente de la física, aplicándose desde la trayectoria de objetos en movimiento hasta los campos eléctricos. El cálculo brinda herramientas para poder trabajar mejor con ellos.

En esta entrada presentamos funciones de la forma

f ( t ) = (f 1(t), f 2(t), ..., f n(t)), expresadas como f : R -->R^n

En las entradas siguientes veremos vectores importantes como el rotacional, gradiente, etc.

Apuntes y ejercicios
Videos (de Khan Academy)



Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas:

Sobre Análisis Matemático II (Cálculo Vectorial)

Esta materia se dicta por lo general en carreras de ingeniería y ciencias exactas. Introduce el análisis de funciones de varias variables, el cálculo vectorial, integración múltiple, teoremas vectoriales y ecuaciones diferenciales, entre otros. Las entradas siguientes mostrarán información útil para el tratamiento de los temas.

Análisis Matemático II según universidad (ejercicios, programas de materias, etc).

Libros: vean la entrada sobre libros de este blog.

Un apunte que resume todos los puntos importantes de la materia

Power Points del libro "Cálculo Vectorial", de Marsden Tromba
Publicado por Pablo 0 comentarios
Etiquetas:
Suscribirse a: Entradas (Atom)