Métodos Numéricos: cómo usar MATLAB

El programa MATLAB es un software matemático orientado al uso de matrices y vectores, aunque su utilidad es mucho mas amplia. En esta entrada:

• Link para descargar el programa (Universidad de Granada)
• Libro "Numerical Computing with Matlab", de Cleve Moler (en inglés)
• Libro "Tutorial de Matlab", Manuel Vargas Villanueva
• Apuntes MATLAB, Universidad Politécnica de Madrid
• Libro "Matlab: The Language of Technical Computing"; The MathWorks Group
• Libro "Matlab: Primer", de Mathworks (en inglés)
• "Introduction to MATLAB for Engineering Students", de David Houcque, Northwestern Univertsity
• Canal oficial de MATLAB en Youtube: ofrece tutoriales en video sobre cómo usar el programa

Análisis III: Integrales impropias

Las integrales impropias son muy frecuentes en varios campos de la matemática, sobre todo en la estadística y el análisis matemático. Pueden darse en funciones de todo tipo; univariables, multivariables, complejas y demás.

Apuntes

Integrales impropias simples

• TP 5, cátedra general, UBA
• Apuntes del Ing. Sacerdoti, UBA
• TP 5, cátedra Isaacson, UBA
• Apunte cátedra Murmis, UBA
• TP 7, UNLP
• Capítulo 8, "Cálculo" de Larson
• Capítulo 10, "Calculus" de Apostol
• Apunte, Universidad de Zaragoza
• Apunte, Universidad Católica de Salta
• Apunte, Universidad de Valladolid
• Apunte, Universidad Complutense de Madrid
• Apunte, Universidad Politécnica de Madrid
• Apunte, Centro de Investigación en Matemáticas
• Apunte, Universidad Autónoma de Madrid
• Apunte, Universidad del País Vasco
• Apunte, Universidad de Murcia
• Apunte, Universidad de Alcalá
• Apunte, Universidad de Vigo

Integrales impropias múltiples (dobles, triples)

• Capítulo 6 de "Cálculo Vectorial", de Marsden Tromba: 
• Apunte, Universidad de La República, Uruguay
• Apunte I y II, Universidad Politécnica de Madrid
• Apunte, UNLP

Videos

Cómo calcular integrales impropias en WolframAlpha

Se escriben igual que las integrales comunes. Colocamos "integrate from a to b" y la fórmula de la función, siendo a y b los extremos de integración. En estos casos a y b pueden ser infinito, menos infinito o un número cualquiera. Si a o b son infinito, escribimos la palabra "infinite"; si son menos infinito, ponemos "-infinite". 

Estas integrales pueden calcularse para:

Funciones de una variable real f : R --> R

ej;

integrate from -infinite to infinite, 1/(x^2 + 1)

Funciones de variable compleja f : C --> C

ej;

integrate from 1 to infinite, i/(z^2)

Funciones de varias variables reales f : R^n --> R

ej;

int (1/(x*y)^(1/3)) dx dy, x = 0 to 1, y= 0 to 1

Cómo realizar un Análisis de Regresión con WolframAlpha

Cómo realizar un ajuste por cuadrados mínimos con WolframAlpha

Bajo estos dos títulos se conoce el modelado con ecuaciones de distintos fenómenos en forma de función y = f(x). En esta entrada, cómo ajustar una serie de puntos obtenidos experimentalmente con WolframAlpha.

Modelos Lineales

Colocamos "linear fit" seguido de los puntos obtenidos. Los mismos deben escribirse con una llave general, más cada punto separado por llaves y comas, a la forma de (x,y) (ambas coordenadas juntas)

Ej, 

linear fit {1.3, 2.2},{2.1, 5.8},{3.7, 10.2},{4.2, 11.8}

obtenemos

con la función

con los valores de análisis 

el gráfico final

y un gráfico con lo residuos del ajuste

Modelo Cuadrático

Colocamos "quadratic fit", seguido de los números.

ej, quadratic fit {10.1,1.2},{12.6, 2.8},{14.8,7.6},{16.0,12.8},{17.5,15.1}

sale

quedando

Modelo Cúbico

Ponemos

cubic fit 20.9,23.2,26.2,26.4,16.3,-12.2,-60.6,-128.9

Obteniendo

Modelo exponencial

Ej, exponential fit 0.783,0.552,0.383,0.245,0.165,0.097

obtenemos

Modelo Logarítmico

Ej, log fit {15.2,8.9},{31.1,9.9},{38.6,10.3},{52.2,10.7},{75.4,11.4}

se obtiene

Análisis I: Sólidos de revolución

Los sólidos de revolución son muy comunes en la industria y en los objetos cotidianos; son simples de calcular mediante integrales de funciones univariables.

Apuntes

• Apunte, Amazon.com
• Apunte, Universidad Nacional de La Plata
• Apunte, Universidad Nacional de Colombia
• Apunte, Instituto Tecnológico de Puebla
• Apunte, Escuela Superior Politécnica del Litoral
• Apunte, Universidad de Murcia
• Apunte, Universidad de Antioquia
• Apunte, Wolfram Math World
• Apunte, Dartmouth College
• Apunte, University of Graz
• Apunte, University of Rochester

Videos (Khan Academy)

Análisis I: Polinomios de Taylor y Mac Laurin

El polinomio de Taylor es una aproximación a una función de variable real mediante el uso de derivadas. Es de gran utilidad para simplificación de funciones y sus resultados. El polinomio de Mac Laurin es un caso especial del polinomio de Taylor, donde el punto que se analiza es el cero.

Apuntes

• Apunte, Universidad de Valladolid
• Apunte, Escuela Politécnica del Ejército, Ecuador
• Apunte, Instituto Artigas, Uruguay
• Apunte, Universidad de La Laguna
• Apunte, Universidad de Málaga
• Apunte, Universidad de Jaén
• Apunte, Universidad de Cantabria
• Apunte, Universidad de Alcalá de Henares
• Apunte, Universidad de Buenos Aires
• Apunte, Universidad Politécnica de Cartagena
• Apunte, Universidad Nacional de La Plata

Cómo calcular los Polinomios de Taylor en Wolfram Alpha

Para aproximar funciones en el punto x = 0, simplemente escribimos "taylor series" seguido de la fórmula de la función.

Ej, para aproximar f (x) = sin x, escribimos

taylor series sin x

con el resultado

 

pudiendo aproximarse hasta el orden que se desee. Podemos poner "more terms" o "fewer terms", según el grado de aproximación buscada.

Para un punto x distinto del cero escribimos "series", seguido de la fórmula de la función y finalmente "at x =", con el número de x deseado.
Ej, la aproximación de f ( x ) = sin(x) en x = pi/4 se escribe:
series sin x at x=pi/4
con el resultado

Para especificar tanto el punto como el orden de la aproximación, escribimos "series", la fórmula, "at x = ", "to order ".
Ej, para f ( x ) = (sin x)/(x-pi) en x =pi de orden 10, escribimos
series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10
resultando

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Análisis I: Problemas de optimización

Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas es resolver problemas por optimización, encontrando las cantidades mínimas y máximas de alguna variable particular.

Apuntes

• Apunte, Universidad del Trabajo, Uruguay
• Apunte, Universidad Autónoma de Madrid
• Apunte, Saskatchewan Teachers Federation
• Apunte I y II, University of California
• Apunte, University of Sydney 
• Apunte, University of Hawaii
• Apunte, Kennesaw University
• Capítulos 2 y 3, Cálculo Larson

Videos (Khan Academy)

Análisis I: regla de L´Hopital

La regla de L´Hopital es de gran ayuda en el cálculo de límites con ayuda de las derivadas.

Apuntes

• Apunte, Universidad de Zaragoza
• Apunte, Instituto Superior Tecnológico de Calkiní
• Apunte, Universidad de Granada
• Apunte, Universidad del País Vasco
• Apunte, Universidad de Coruña
• Apunte, Universidad Nacional de Santiago del Estero
• Apunte, Universidad de Sevilla
• Apunte, Universidad de Chile
• Apunte, Oregon State University
• Apunte, Penn State University
• Apunte, Swarthmore College
• Apunte, Millersville University
• Apunte, University of Houston
• "L´Hospital Rule", Wolfram Math World

Videos (Khan Academy)

Análisis I: regla de la cadena para derivación de funciones univariables

La regla de la cadena es una importante herramienta en el cálculo de derivadas, tanto de una como de varias variables.

Apuntes

• Capítulo 2, Cálculo Larson
• Capítulo 10, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
• "Chain Rule"; Wolfram Math World
• Apunte, Universidad de Antofagasta
• Apunte, Universidad Ancalá de Henares
• Apunte, Universidad de Huelva
• Apunte, Universidad Autónoma Metropolitana
• Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
• Apunte, Universidad Nacional de La Plata
• Apunte, MIT

Videos (Khan Academy)

Análisis I: introducción a las Derivadas

El concepto de derivada es, luego de los límites, el más importante en las materias de análisis. Amplía el conocimiento y la utilidad que tienen las funciones tanto en su estudio teórico como en sus aplicaciones a problemas reales.

Apuntes

• Capítulos 2 y 3, Cálculo, Larson
• Capítulo 9, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
• Derivative, Wolfram Math World
• Apunte, Universidad de Antioquía
• Apunte, de sosmath.com
• Apunte, University of Arizona
• Apunte, Brown University
• Apunte, mathroom.com
• Apunte, Thomas Jefferson High School
• Apunte, University of Charlotte
• Apunte, de analyzemath.com
• Apunte, de math.com

Cómo calcular derivadas en Wolfram Alpha

Derivadas de una funcion f : R --> R

Dada una función f ( x )
 - Si se quiere calcular la función derivada (general, para un punto cualquiera x)se puede escribir de dos maneras.

derivative of  f ( x )
d/dx f ( x )

si se busca la derivada en un punto x = a:

derivative of f ( x ), x = a
d/dx f ( x ), x = a

ej; derivada de f ( x ) = 2 (x^2)
se escribe : derivative of 2 (x^2)

o también d/dx 2 (x^2)

Derivadas sucesivas

Para hallar derivadas sucesivas (de segundo, tercer, ..., n orden) se coloca:
n derivative of f ( x )
o sino : d^n / dx^n f ( x )

ej; derivada segunda de f ( x ) = 4x^5 + 2x^2:
second derivative of 4x^5 + 2x^2

o d^2/dx^2 4x^5 + 2x^2

para las derivadas definidas en un punto x = a se escribe:
second derivative of f ( x ) where x = a
d^n/dx^n f ( x ) where x = a


ej: second derivative of 4x^5 + 2x^2 where x = 2

 Resultado: 644

Derivadas de funciones de varias variables: funciones de tipo f : R^n --> R

Derivadas Parciales

Se expresan de manera similar:

ej, dada una función f ( x , y ) escribimos:

d/dx f ( x , y ) 
o d / dy  f ( x , y )

Derivadas parciales sucesivas

d/dx d/dy f ( x , y )    (derivadas parciales cruzadas)

ej: d/dx d/dy 4x^5 + 2x^2 + 3y

d^2/dx^2  f ( x, y )    (derivadas parciales iteradas)

ej  d^2/dx^2 (4x^5 + 2x^2 + 3y)

Derivadas direccionales

Dada la dirección ( a , b ) para un punto cualquiera escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b )


ej: directional derivative (4x^5 + 2x^2 + 3y) in the direction ( 1 , 1 )


resultado

Para una dirección ( a , b ) y el punto ( c , d ) escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b ), where x = c, y = d

Derivadas de funciones vectoriales: funciones de tipo f : R --> R^n

Dada la función f ( t ) = (f t1 ; f t 2 ; ... ; f t n), escribimos:

d/dt f ( t )    (para un punto general)

d/dt f ( t ) where x = a, para un punto a

ej; derivada de f ( t ) = ( 3t ; 9 t^2 ; 5), con t = 9, se escribe: 

d/dt  (3t; 9t^2; 5) where t = 9

El programa muestra un análisis completo de la función derivada. En el botón "Show steps" se muestran los pasos por los cuales se realizó el cálculo.

Videos (Khan Academy)

Análisis I: sucesiones

Las sucesiones entran dentro de los temas básicos de matemática introductoria. Su cálculo es sencillo, de fácil manejo y son la base para el tema siguiente de series.

Apuntes

• Apunte, UCA
• Apunte, Universidad de Cantabria
• Apunte, Escuela Americana, El Salvador
• Apunte, Universidad Central de Venezuela
• Apunte, Universidad de Murcia
• "Variable compleja y aplicaciones", de R Churchill, capítulo 5
• "Cálculo I" de Larson, capítulo 8

Videos(Khan Academy)

Cómo calcular sucesiones en WolframAlpha

La sucesión puede definirse como una función f ( n ) : (N u 0) -- > R. Es decir, con un dominio de números naturales (más el cero) y una imagen de números reales. Si la consideramos así el análisis es similar al de funciones de forma  f ( x ) : R -- > R.

Se escribe la fórmula de la sucesión y luego la palabra sequence.
f ( n ) sequence
ej; sucesión 2n
2n sequence

aparece esta tabla

que indica cómo evoluciona la función según los valores de n. El resto del análisis es idéntico al de funciones comunes.

ej: f ( n ) = n!
n! sequence

ir a http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%21+sequence para un análisis completo

Límite de una sucesión

Para una sucesión de la forma f ( n ) : N -- > R el límite se escribe igual que para las funciones comunes.
ej;
limit (1+1/n)^n as n->infinity

Reconocimiento del término f ( n )

Si se ingresa una secuencia de números separadas por coma, wolfram tratará de reconocer el término general de la misma.

ej;

es la sucesión

Análisis I: acerca de límites

El concepto de límite es el más fundamental en la introducción al cálculo y da lugar a otros tales como derivadas e integrales.

Apuntes

• "Limit": WolframMath World
• Capítulo I, "Cálculo", Larson
• Apunte I y II, UCA
• Apunte, Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales
• Apunte, Universidad autónoma Metropolitana
• Apunte, Instituto de Tecnologías Educativas
• Apunte, Lamar University 
• Apunte, UNAM
• Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
• Apunte, Scribd.com

Ejercicios

• De Matemática50webs,  De Vadenumeros.es, De Vitutor.com, De Scribd.com, De Juntadeandalucia.es, De Universidad de Murcia,  De Licmoralesvidea.wordpress.com, De ite.educacion.es 

Cómo calcular límites en Wolfram Alpha

Para una función f ( x )

El límite de f ( x ) tendiendo a un número x = a , se escribe:

limit  f ( x ) as x -> a

ej;  limite de f ( x ) = 3x^2 - 2 cuando x = 3

limit 3x^2 - 2 as x -> 3


queda

Para una función de dos variables  f ( x , y )

El límite de una función f ( x , y ) tendiendo a un número X = ( a , b ), con x = a, y = b, se escribe:

limit f ( x , y ) as x -> a, y-> b

ej: limite de f ( x , y ) = x / (x^2 + y^2)^(1/2) en ( 0 , 0 ):

limit x / (x^2 + y^2)^(1/2) as x -> 0, y-> 0

queda:

con el resultado:

Para funciones con más variables se calcula de manera análoga a las funciones de dos variables.

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Análisis I: Polinomios

Los polinomios entran dentro de los temas fundamentales del álgebra y análisis matemático; no se puede empezar uno de estos cursos sin conocer estos objetos ni las propiedades que presentan.

Apuntes

• Capítulo 1 de "Algebra y trigonometría", de Dennis Zill.
• Guía del CBC de la UBA
• Guías de álgebra UCA
• Polinomios en Matlab
• En scribd
• Factorización de polinomios
• "Polynomial", Wolfram Math World
• Apunte, Universidad Autónoma de México

Cómo operar con polinomios en WolframAlpha

Operaciones

Ingresando simplemente la fórmula del polinomio obtenemos las propiedades básicas del mismo.

Polinomios de una y  varias variables

Ej, dado un polinomio 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2, ingresamos la fórmula.
Ej, dado un polinomio de dos variables x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3, hacemos lo mismo

Factorización

Se ingresa factor y luego la fórmula. Vale para una y más variables

ej; factor 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2

Mayor común divisor de dos polinomios

Escribimos gcd y la fórmula de los dos polinomios separadas por coma

ej: gcd x^4-9x^2-4x+12, x^3+5x^2+2x-8

Expansión (expresar un polinomio factorizado de forma expandida)

Ponemos expand y la fórmula. Vale para una y más variables.

ej; expand (x^2 + 1)(x^2 - 1)(x+1)^3
ej; expand (x + y + z)^10

 Resolución de ecuaciones polinómicas

Para un polinomio P de una o más variables, de forma P = d, siendo d un número real, escribimos la ecuación.
 ej: x^3 - 4x^2 + 6x - 24 = 0 (esta forma sirve también para averiguar las raíces de los mismos).

Para dos polinomios P y Q, de una o más variables en forma de ecuación (P = d, Q = e, e y d son reales), y buscamos la solución común entre ambos, escribimos las dos ecuaciones separadas por coma.

P = d, Q = e

ej; x^2+y^2=1, (x-2)^2+(y-1)^2=4 (podemos usar esta forma para resolver sistemas de ecuaciones; más adelante entraremos en el tema).

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Análisis I: Potenciación y radicación; ecuaciones exponenciales

La potenciación es una de las operaciones fundamentales en matemática; son usadas extensamente en la materia. Una primera aplicación de la misma es en las ecuaciones.

Apuntes

Potenciación y radicación

• Apunte, de educ.ar 
• Apunte, de encuentro.gov.ar
• Apunte, de profe-alex.blogspot.com
• Apunte, de mathmagazine.org
• Apunte, de cam.educaciondigital.net
• Apunte, de matematica.laguia2000.com 
• Apunte, Universidad Nacional de Santiago del Estero

Ecuaciones exponenciales

• Apunte, de vitutor.com
• Apunte, West Texas A&M University
• Apunte, Universidad Interamericana de Puerto Rico
• Apunte, Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
• Ejercicios, de vadenumeros.es
• Ejercicios, de ejercitando.com.ar 
• Ejercicios, de ite.educacion.es  
• Ejercicios, Oswego City School District 
• Ejercicios, Oklahoma City Community College  

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Análisis I: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas

Los logaritmos son operaciones esenciales en el análisis matemático; su uso se extiende desde las ecuaciones hasta las funciones, series, límites e integrales.
En esta entrada, una introducción a los logaritmos; desde sus conceptos básicos hasta sus propiedades.

Logaritmos y sus propiedades

• Apunte, Wolfram Math World 
• Apunte, The University of Utah 
• Apunte, Texas A & M University
• Apunte, Andrews University

Ecuaciones logarítmicas

• Apunte, West Texas A & M University 
• Apunte, Oklahoma City Community College
• Apunte, The University of Rhode Island
• Apunte, Universidad Tecnológica Nacional 
• Apunte, Junta de Andalucía 

Ejercicios

• de vitutor.com
• de vadenumeros.es
• de ejercitando.com.ar
• de profe-alexz.blogspot.com
• de slideshare.net

Videos (Khan Academy)