Cómo realizar un Análisis de Regresión con WolframAlpha
Cómo realizar un ajuste por cuadrados mínimos con WolframAlpha
Bajo estos dos títulos se conoce el modelado con ecuaciones de distintos fenómenos en forma de función y = f(x). En esta entrada, cómo ajustar una serie de puntos obtenidos experimentalmente con WolframAlpha.
Modelos Lineales
Colocamos "linear fit" seguido de los puntos obtenidos. Los mismos deben escribirse con una llave general, más cada punto separado por llaves y comas, a la forma de (x,y) (ambas coordenadas juntas)
Ej,
linear fit {1.3, 2.2},{2.1, 5.8},{3.7, 10.2},{4.2, 11.8}
obtenemos
con la función
con los valores de análisis
el gráfico final
y un gráfico con lo residuos del ajuste
Modelo Cuadrático
Colocamos "quadratic fit", seguido de los números.
ej, quadratic fit {10.1,1.2},{12.6, 2.8},{14.8,7.6},{16.0,12.8},{17.5,15.1}
sale
quedando
Modelo Cúbico
Ponemos
cubic fit 20.9,23.2,26.2,26.4,16.3,-12.2,-60.6,-128.9
Obteniendo
Modelo exponencial
Ej, exponential fit 0.783,0.552,0.383,0.245,0.165,0.097
obtenemos
Modelo Logarítmico
Ej, log fit {15.2,8.9},{31.1,9.9},{38.6,10.3},{52.2,10.7},{75.4,11.4}
Al igual los programas anteriores este es de gran ayuda para la matemática, se los recomiendo. Es un poco más complejo que Graph y DPGraph ya que se deben programar las funciones deseadas.
Para las materias donde se introduce el cálculo multivariable y vectorial es importante poder incorporar el concepto de multidimensionalidad de las funciones implicadas. Por eso es de gran ayuda contar con programas donde se puedan visualizar las mismas. Los más recomendados son Mathlab y Mathematica, por ser completos y acabados para estudiantes avanzados y profesionales. Para poder manejarlos, sin embargo, hay que aprender los conceptos básicos de programación. Hay otra alternativa un poco más simple, sin entrar en detalles complicados como los anteriores. Es DPGraph, aquí algunas de las opciones básicas.
Una vez que se baja el programa, se pueden acceder a varios gráficos prearmados. Todos están en diferentes carpetas, cada uno según su tipo (ej, si es una cuádrica, cónica, etc). Vamos a "Open" y allí están.
Crear un gráfico de tres dimensiones
Vamos a "Open" y abrimos cualquier archivo. Luego en "Edit" nos colocamos en la línea Graph3d( f ( x, y, ... n) ), donde f ( x, y, ..., n ) es la ecuación de la función hecha. Allí escribimos nuestra ecuación.
En "Edit" también se pueden modificar los intervalos de x, y, z que se muestran. En las líneas de la forma "graph3d.maximumz" o "graph3d.minimumz" se establece cuál es el máximo o mínimo de cada variable. El gráfico aparece dentro de un prisma rectangular con sus aristas. Las dimensiones del mismo son los intervalos antes dichos.
DPGraph tiene muchas otras opciones; es muy versátil, y muy útil para las materias de análisis II y cálculo avanzado.
Este sencillo programa permite graficar funciones en dos dimensiones. Permite además realizar las operaciones usuales en este tipo de representaciones matemáticas; veremos cómo sacar provecho de las opciones que ofrece.
Gráfico: vamos a la pestaña "función", en "insertar funcion". Seleccionamos "función estándar" en tipo de función. Escribimos la ecuación de la misma abajo.
Tenemos la ventana de intervalo; con ello ponemos el segmento que queremos visualizar, con el intervalo de x correspondiente.
La parte de "pasos" indica con qué "curvatura" o suavidad queremos ver f ( x ); a mayor número de pasos, mayor resolución. Si no se coloca nada, la gráfica es normal y bien definida.
Finalmente, podemos definir el formato con los puntos extremos, color, estilo de línea, etc.
En la ventana "Calcular" podemos obtener longitud de un segmento, área, evaluar derivadas sucesivas en un punto e insertar una tabla. En cada opción ponemos los intervalos que queremos y el cálculo se hace.
El resto de opciones del programa son similares.
Funciones paramétricas: r : R --> R^2, vectoriales de forma r ( t ) = ( x ( t ) ; y ( t ) )
Estas son funciones vectoriales que dependen de un sólo parámetro t. La imagen tiene dos dimensiones x e y, que son justamente las del plano. Lo que se forman son curvas paramétricas, son útiles al poder hacer gráficos que las funciones comunes f ( x ) no permiten. Una buena introducción al tema pueden encontrarla en el capítulo 4 de "Cálculo Vectorial", de Anthony Tromba (link: http://es.scribd.com/doc/52674936/Marsden-Tromba-Calculo-Vectorial-5taED)
Vamos a insertar función, en tipo de función ponemos "función paramétrica". Cada componente de la imagen x e y tiene su respectiva función x ( t ) e y ( t ); escribimos ambas.
En estas es obligatorio poner el intervalo de t y los pasos.
Los cálculos que se pueden hacer son los mismos que para funciones comunes.
Funciones polares r : ( θ )
Se coloca "función polar" en el tipo de funcion. La misma depende del parámetro "t" y es necesario poner el intervalo y los pasos. Para un buen tratado teórico del tema; el mismo capítulo que para funciones paramétricas: http://es.scribd.com/doc/52674936/Marsden-Tromba-Calculo-Vectorial-5taED
Las series son el tema siguiente a sucesiones; de igual o mayor importancia que éstas. Son imprescindibles en todo curso de iniciación a la matemática.
Variable Compleja y Aplicaciones, Ruel V. Churchill . Trata acerca de los números complejos; incluye series de laurent y taylor (especificos para desarrollar funciones de complejos, de la forma f ( z ) : C --> C ).
Dado que una serie es una suma infinita de términos, primero mostraremos cómo calcular una suma finita de números (la sumatoria).
Para un intervalo fijo
Colocamos la palabra "sum", luego el término general de la sumatoria y después el rango en el que se sumará. Este último se escribe (ej, si el rango va de "a" a "b") "j = a to b"
ej;
se escribe sum j^2, j=1 to 100 y da por resultado 338350
Para un intervalo no especificado
Ponemos "sum", el término general, y en el intervalo comocamos "j = a to n", siendo n un número natural cualquiera variable. Lo que aparece es una tabla con los valores de la suma según el valor de n.
ej;
sum x^k, k=0 to n
Suma incompleta de términos específicos
Se colocan algunos números a sumar, luego tres puntos y finalmente el término final.
ej:
1+2+3+...+10
queda:
Series infinitas
Es similar a lo anterior. Se escribe "sum", el término de la fórmula y luego "n = a to infinity", siendo n la variable del término general de la serie.
ej:
sum 1/n^2, n=1 to infinity
es
También puede escribirse el infinito como dos "o minúsculas" juntas.
ej;
sum x^k/k!, k=0 to +oo
es:
Para una suma que abarque todos los enteros (de menos infinito a mas infinito) se procede de dos formas.
Una es escribir el intervalo como es (de menos infinito a mas infinito).
ej;
sum 1/(1+n^2), n=-oo to +oo
La otra forma es poner "sum" y el término.
ej:
sum 1/n^2
Podemos, al igual que las sucesiones, escribir una suma de términos inconclusa y colocar tres puntos al final. Wolfram lo interpreta como serie infinita.
ej:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Series de Taylor
Desarrollo de taylor de una función f ( x ) : R --> R
Ponemos "taylor series" o "series" y la fórmula f ( x ). Es importante poner "x" en la variable de la fórmula; de esta forma wolfram la interpreta como una variable real.
ej: para f ( x ) = sin ( x ) se pone taylor series sin x
aparece la expasión de la serie en x = 0
y para un x = zo cualquiera
entre tantas representaciones que aparecen.
Para un x = a específico se pone series f ( x ) at x = a.
ej; series sin x at x=pi/4
para x = pi/4 es
para un zo cualquiera:
Si se quiere mostrar un orden específico "a" ponemos lo mismo que antes y las palabras "to order a".
ej;
series sin x to order 7
para x = 0, y para zo;
Si queremos especificar tanto el punto como el orden de la serie, lo indicamos tal cual. Primero el punto y luego el orden.
ej; series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10
queda para un x = n:
Series de Laurent (funciones de la forma f ( z ) : C --> C )
Trabajamos con estas funciones de la misma forma que con las de taylor, la diferencia principal es que las variables son números complejos. Por ende colocamos "z" en su lugar. Podemos poner "laurent series" o "series"; lo importante es siempre colocar "z"
ej:
series cot z
para z = 0. Para un zo cualquiera
ej:
series (sin z)/z^3 to order 10
para z = 0, y para zo cualquiera:
Series de Fourier
Se procede igual que en los otros casos. Anteponemos "fourier series" a la función.
ej;
