Análisis I: regla de L´Hopital

La regla de L´Hopital es de gran ayuda en el cálculo de límites con ayuda de las derivadas.

Apuntes

• Apunte, Universidad de Zaragoza
• Apunte, Instituto Superior Tecnológico de Calkiní
• Apunte, Universidad de Granada
• Apunte, Universidad del País Vasco
• Apunte, Universidad de Coruña
• Apunte, Universidad Nacional de Santiago del Estero
• Apunte, Universidad de Sevilla
• Apunte, Universidad de Chile
• Apunte, Oregon State University
• Apunte, Penn State University
• Apunte, Swarthmore College
• Apunte, Millersville University
• Apunte, University of Houston
• "L´Hospital Rule", Wolfram Math World

Videos (Khan Academy)

Análisis I: regla de la cadena para derivación de funciones univariables

La regla de la cadena es una importante herramienta en el cálculo de derivadas, tanto de una como de varias variables.

Apuntes

• Capítulo 2, Cálculo Larson
• Capítulo 10, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
• "Chain Rule"; Wolfram Math World
• Apunte, Universidad de Antofagasta
• Apunte, Universidad Ancalá de Henares
• Apunte, Universidad de Huelva
• Apunte, Universidad Autónoma Metropolitana
• Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
• Apunte, Universidad Nacional de La Plata
• Apunte, MIT

Videos (Khan Academy)

Análisis I: introducción a las Derivadas

El concepto de derivada es, luego de los límites, el más importante en las materias de análisis. Amplía el conocimiento y la utilidad que tienen las funciones tanto en su estudio teórico como en sus aplicaciones a problemas reales.

Apuntes

• Capítulos 2 y 3, Cálculo, Larson
• Capítulo 9, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
• Derivative, Wolfram Math World
• Apunte, Universidad de Antioquía
• Apunte, de sosmath.com
• Apunte, University of Arizona
• Apunte, Brown University
• Apunte, mathroom.com
• Apunte, Thomas Jefferson High School
• Apunte, University of Charlotte
• Apunte, de analyzemath.com
• Apunte, de math.com

Cómo calcular derivadas en Wolfram Alpha

Derivadas de una funcion f : R --> R

Dada una función f ( x )
 - Si se quiere calcular la función derivada (general, para un punto cualquiera x)se puede escribir de dos maneras.

derivative of  f ( x )
d/dx f ( x )

si se busca la derivada en un punto x = a:

derivative of f ( x ), x = a
d/dx f ( x ), x = a

ej; derivada de f ( x ) = 2 (x^2)
se escribe : derivative of 2 (x^2)

o también d/dx 2 (x^2)

Derivadas sucesivas

Para hallar derivadas sucesivas (de segundo, tercer, ..., n orden) se coloca:
n derivative of f ( x )
o sino : d^n / dx^n f ( x )

ej; derivada segunda de f ( x ) = 4x^5 + 2x^2:
second derivative of 4x^5 + 2x^2

o d^2/dx^2 4x^5 + 2x^2

para las derivadas definidas en un punto x = a se escribe:
second derivative of f ( x ) where x = a
d^n/dx^n f ( x ) where x = a


ej: second derivative of 4x^5 + 2x^2 where x = 2

 Resultado: 644

Derivadas de funciones de varias variables: funciones de tipo f : R^n --> R

Derivadas Parciales

Se expresan de manera similar:

ej, dada una función f ( x , y ) escribimos:

d/dx f ( x , y ) 
o d / dy  f ( x , y )

Derivadas parciales sucesivas

d/dx d/dy f ( x , y )    (derivadas parciales cruzadas)

ej: d/dx d/dy 4x^5 + 2x^2 + 3y

d^2/dx^2  f ( x, y )    (derivadas parciales iteradas)

ej  d^2/dx^2 (4x^5 + 2x^2 + 3y)

Derivadas direccionales

Dada la dirección ( a , b ) para un punto cualquiera escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b )


ej: directional derivative (4x^5 + 2x^2 + 3y) in the direction ( 1 , 1 )


resultado

Para una dirección ( a , b ) y el punto ( c , d ) escribimos:

directional derivative f ( x , y ) in the direction ( a , b ), where x = c, y = d

Derivadas de funciones vectoriales: funciones de tipo f : R --> R^n

Dada la función f ( t ) = (f t1 ; f t 2 ; ... ; f t n), escribimos:

d/dt f ( t )    (para un punto general)

d/dt f ( t ) where x = a, para un punto a

ej; derivada de f ( t ) = ( 3t ; 9 t^2 ; 5), con t = 9, se escribe: 

d/dt  (3t; 9t^2; 5) where t = 9

El programa muestra un análisis completo de la función derivada. En el botón "Show steps" se muestran los pasos por los cuales se realizó el cálculo.

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Análisis I: sucesiones

Las sucesiones entran dentro de los temas básicos de matemática introductoria. Su cálculo es sencillo, de fácil manejo y son la base para el tema siguiente de series.

Apuntes

• Apunte, UCA
• Apunte, Universidad de Cantabria
• Apunte, Escuela Americana, El Salvador
• Apunte, Universidad Central de Venezuela
• Apunte, Universidad de Murcia
• "Variable compleja y aplicaciones", de R Churchill, capítulo 5
• "Cálculo I" de Larson, capítulo 8

Videos(Khan Academy)

Cómo calcular sucesiones en WolframAlpha

La sucesión puede definirse como una función f ( n ) : (N u 0) -- > R. Es decir, con un dominio de números naturales (más el cero) y una imagen de números reales. Si la consideramos así el análisis es similar al de funciones de forma  f ( x ) : R -- > R.

Se escribe la fórmula de la sucesión y luego la palabra sequence.
f ( n ) sequence
ej; sucesión 2n
2n sequence

aparece esta tabla

que indica cómo evoluciona la función según los valores de n. El resto del análisis es idéntico al de funciones comunes.

ej: f ( n ) = n!
n! sequence

ir a http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%21+sequence para un análisis completo

Límite de una sucesión

Para una sucesión de la forma f ( n ) : N -- > R el límite se escribe igual que para las funciones comunes.
ej;
limit (1+1/n)^n as n->infinity

Reconocimiento del término f ( n )

Si se ingresa una secuencia de números separadas por coma, wolfram tratará de reconocer el término general de la misma.

ej;

es la sucesión

Análisis I: acerca de límites

El concepto de límite es el más fundamental en la introducción al cálculo y da lugar a otros tales como derivadas e integrales.

Apuntes

• "Limit": WolframMath World
• Capítulo I, "Cálculo", Larson
• Apunte I y II, UCA
• Apunte, Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales
• Apunte, Universidad autónoma Metropolitana
• Apunte, Instituto de Tecnologías Educativas
• Apunte, Lamar University 
• Apunte, UNAM
• Apunte, Universidad Nacional de Córdoba
• Apunte, Scribd.com

Ejercicios

• De Matemática50webs,  De Vadenumeros.es, De Vitutor.com, De Scribd.com, De Juntadeandalucia.es, De Universidad de Murcia,  De Licmoralesvidea.wordpress.com, De ite.educacion.es 

Cómo calcular límites en Wolfram Alpha

Para una función f ( x )

El límite de f ( x ) tendiendo a un número x = a , se escribe:

limit  f ( x ) as x -> a

ej;  limite de f ( x ) = 3x^2 - 2 cuando x = 3

limit 3x^2 - 2 as x -> 3


queda

Para una función de dos variables  f ( x , y )

El límite de una función f ( x , y ) tendiendo a un número X = ( a , b ), con x = a, y = b, se escribe:

limit f ( x , y ) as x -> a, y-> b

ej: limite de f ( x , y ) = x / (x^2 + y^2)^(1/2) en ( 0 , 0 ):

limit x / (x^2 + y^2)^(1/2) as x -> 0, y-> 0

queda:

con el resultado:

Para funciones con más variables se calcula de manera análoga a las funciones de dos variables.

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Análisis I: Polinomios

Los polinomios entran dentro de los temas fundamentales del álgebra y análisis matemático; no se puede empezar uno de estos cursos sin conocer estos objetos ni las propiedades que presentan.

Apuntes

• Capítulo 1 de "Algebra y trigonometría", de Dennis Zill.
• Guía del CBC de la UBA
• Guías de álgebra UCA
• Polinomios en Matlab
• En scribd
• Factorización de polinomios
• "Polynomial", Wolfram Math World
• Apunte, Universidad Autónoma de México

Cómo operar con polinomios en WolframAlpha

Operaciones

Ingresando simplemente la fórmula del polinomio obtenemos las propiedades básicas del mismo.

Polinomios de una y  varias variables

Ej, dado un polinomio 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2, ingresamos la fórmula.
Ej, dado un polinomio de dos variables x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3, hacemos lo mismo

Factorización

Se ingresa factor y luego la fórmula. Vale para una y más variables

ej; factor 4x^3 + 5x^2 + 3x - 2

Mayor común divisor de dos polinomios

Escribimos gcd y la fórmula de los dos polinomios separadas por coma

ej: gcd x^4-9x^2-4x+12, x^3+5x^2+2x-8

Expansión (expresar un polinomio factorizado de forma expandida)

Ponemos expand y la fórmula. Vale para una y más variables.

ej; expand (x^2 + 1)(x^2 - 1)(x+1)^3
ej; expand (x + y + z)^10

 Resolución de ecuaciones polinómicas

Para un polinomio P de una o más variables, de forma P = d, siendo d un número real, escribimos la ecuación.
 ej: x^3 - 4x^2 + 6x - 24 = 0 (esta forma sirve también para averiguar las raíces de los mismos).

Para dos polinomios P y Q, de una o más variables en forma de ecuación (P = d, Q = e, e y d son reales), y buscamos la solución común entre ambos, escribimos las dos ecuaciones separadas por coma.

P = d, Q = e

ej; x^2+y^2=1, (x-2)^2+(y-1)^2=4 (podemos usar esta forma para resolver sistemas de ecuaciones; más adelante entraremos en el tema).

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Análisis I: acerca de las funciones

El primer tema que se ve en cualquier curso de análisis matemático es el de funciones; base de todos los conceptos posteriores y en las demás materias de matemática.

Apuntes

• Apunte, JFInternational
• Apunte, Vitutor.com
• Sitio "Wolfram Functions Site"
• Libro "Álgebra y Trigonometría", Dennis Zill
• Capítulo 3, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler
• Capítulo P, Cálculo, Larson

Cómo calcular funciones en Wolfram Alpha

Dada una función f ( x ) , se escribe la fórmula tal cual, sin modificaciones. Luego se muestra su gráfica, raíces y forma de figura geométrica. De igual manera pueden colocarse funciones de dos o más variables f ( x , y ) , con resultados similares.

ej: con f ( x ) = 3x^2 + 2, aparece: 

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