Análisis III: Transformada de Fourier

Una de las aplicaciones más importantes en el análisis complejo.

Apuntes

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Cómo calcular la Transformada de Fourier en WolframAlpha

Para una función cualquiera, escribimos Fourier transform ( f (z) ), siendo f (z) la fórmula de la misma.

Ej, la transformada de Fourier de e^(-x^2) se escribe

Fourier transform exp(-x^2)

queda


siendo el resultado

Análisis III: Series de Fourier

Uno de los tipos de series más relevantes por sus aplicaciones a la física.

Apuntes


Para ver cómo calcular Series de Fourier en WolframAlpha siga este enlace

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Análisis III: Integrales impropias

Las integrales impropias son muy frecuentes en varios campos de la matemática, sobre todo en la estadística y el análisis matemático. Pueden darse en funciones de todo tipo; univariables, multivariables, complejas y demás.

Apuntes

Integrales impropias simples
Integrales impropias múltiples (dobles, triples)
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Cómo calcular integrales impropias en WolframAlpha

Se escriben igual que las integrales comunes. Colocamos "integrate from a to b" y la fórmula de la función, siendo a y b los extremos de integración. En estos casos a y b pueden ser infinito, menos infinito o un número cualquiera. Si a o b son infinito, escribimos la palabra "infinite"; si son menos infinito, ponemos "-infinite". 
Estas integrales pueden calcularse para:

Funciones de una variable real f : R --> R
ej;
integrate from -infinite to infinite, 1/(x^2 + 1)


Funciones de variable compleja f : C --> C
ej;
integrate from 1 to infinite, i/(z^2)

Funciones de varias variables reales f : R^n --> R
ej;
int (1/(x*y)^(1/3)) dx dy, x = 0 to 1, y= 0 to 1

Análisis III: integración compleja

Tema central de la materia, indispensable para los temas posteriores.

Apuntes
Cómo integrar funciones complejas en WolframAlpha

La integración de funciones f : C --> C es muy similar a la de funciones reales de forma f : R --> R. 
Dado que las integrales no dependen del camino realizado (las mismas son integrales de línea en C), sólo debemos colocar la función y los puntos extremos. Además hay que escribir la variable de la función con la letra "z"; así wolfram la interpreta como un número complejo.

Integrales indefinidas

Escribimos "integrate" seguido de la fórmula de la función
Ej; la integral de f ( z ) = e^z se escribe
integrate e^z
y queda

Integrales definidas

Escribimos "integrate", luego la fórmula y finalmente el intervalo "from a to b", siendo a y b los extremos de la integral.
ej, la integral de f ( z ) = 2 z desde i hasta 5 se escribe
integrate 2z from i to 5
quedando