Acerca de Análisis matemático III

Esta rama de las matemáticas trata sobre el análisis de funciones de variable compleja. Es una materia más específica de las ciencias e ingeniería, dada su gran aplicación a la física y electrotecnia.

Análisis III por universidad
Libros y apuntes recomendados
Otras entradas

    Análisis II: Introducción a las ecuaciones diferenciales

    Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en matemática y sus aplicaciones. Es un tema tan extenso que se dedican materias y libros completos para su estudio; aquí podrán encontrar un pequeño aporte sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, de primer y segundo orden.

    Apuntes


    Cómo calcular ecuaciones diferenciales en WolframAlpha

    Ecuaciones diferenciales ordinarias

    Homogéneas

    Las derivadas pueden escribirse básicamente de dos formas: Una con el apóstrofe ', cada uno según el grado del término (ej; ´´ para derivadas segundas, ´´´ para de tercer orden, etc).
    Luego se coloca la fórmula tal cual.

    ej;

    solución: 

    Otra forma más explícita (usada sobre todo en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales) es colocando los diferenciales correspondientes en cada expresión.

    ej;

    es la misma ecuación que escribir

    con resultado
    para valores específicos los colocamos entre paréntesis, separados por comas.
    ej;

    solución:


    No Homogéneas

    Colocamos tal cual la fórmula.

    ej;
    solución: 

    Con ecuaciones de un parámetro
    ej: 

    solución:

    Ecuaciones diferenciales no lineales

    Ídem pasos anteriores,
    ej;
    solución:

    Ecuaciones diferenciales para las que una función es solución

    Si queremos hallar cuáles y cuántas son las ecuaciones para las cuales una determinada función f ( x ) : R --> R es solución, escribimos:
    differential equations f ( x )

    ej; differential equations sin (2x)
    solución:

    
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    Análisis II: Integrales de superficie, Teoremas de Gauss y Stokes

    Las integrales de superficie nos introducen en el concepto físico de flujo, usado en electromagnetismo y muchas otras aplicaciones

    También se incluyen los teoremas de Gauss y Stokes, útiles en estos cálculos.

    Apuntes y ejercicios
    Teoremas de Stokes y Gauss: Apuntes y ejercicios
    • Apunte, Universidad Complutense de Madrid
    • Apunte, Universidad del País Vasco
    • Apunte, Universidad de Granada
    • Apunte, Universidad Politécnica de Valencia
    • Apunte, Universidad Pontificia Bolivariana
    • Apunte, Universidad de la República
    • Apunte, Universidad de Colima
    • Apunte, Universidad de los Andes
    • Apunte, Universidad de Sevilla
    • Apunte, Wolfram Math World
    • Apunte, University of California, San Diego
    • Apunte, Harvard University

    Videos (Khan Academy)

    Integrales de superficie







    Análisis II: Integrales de línea

    En el cálculo vectorial aplicado a la física se destacan las integrales de línea, derivadas del concepto de trabajo.

    Apuntes y ejercicios
    Videos (Khan Academy)
















    Análisis II: Teorema de Green

    El teorema de Green es una importante herramienta en el cálculo de integrales de línea de curvas cerradas, de funciones en el plano. Relaciona la integral de línea con una integral doble.

    Apuntes y ejercicios

    • Apunte, Wolfram Math World
    • Apunte, Rice University
    • Apunte, MIT
    • Apunte, Mount St' Mary's University
    • Apunte, University of Delaware
    • Apunte, Oregon State University
    • Apunte, Millersville University
    • Apunte, Universidad Complutense de Madrid
    • Apunte, Universidad del País Vasco
    • Apunte, Universidad Autónoma de San Luis Potosí
    • Apunte, Universidad de Granada
    Videos (Khan Academy)





    Análisis II: fórmulas del cambio de variables y aplicaciones a la integracion

    La integración multivariable presenta algunas complicaciones adicionales que la integración común. Por ello se recurre al cambio de variables, muy usado en la materia.

    Apuntes y ejercicios
    Videos








    Análisis II: Integrales dobles y triples

    Este tema es fundamental en el cálculo multivariable y uno de los que tiene mayores aplicaciones en la física, probabilidad y ciencias.

    Apuntes y ejercicios

    Vean cómo se calculan las integrales dobles y triples en WolframAlpha en esta entrada.

    Videos (Khan Academy)

    Integrales dobles



    Integrales triples


    Análisis II: geometría del espacio euclídeo y parametrizaciones

    El cálculo y álgebra vectorial nos introducen a variables más amplias de las conocidas coordenadas cartesianas. Es necesario conocerlas para una mejor comprensión de la materia, entre ellas tenemos a las polares, cilíndricas y esféricas.

    Las parametrizaciones son otras formas de representar objetos matemáticos, diferentes de las conocidas funciones.

    Algunos apuntes

    Videos (Khan Academy)

    Coordenadas polares


    Ecuaciones paramétricas


    Parametrización de superficies


    Videos: Demostraciones de fórmulas geométricas (cónicas y cuádricas)

    Circunferencia
    Con centro en el origen


    Con centro fuera del origen

     

    Elipse

    Con centro en el origen

     





    Parábola

    Vertice fuera del origen

     Hiperbola

    

    Análisis II: máximos y mínimos en funciones multivariables

    Una de las aplicaciones más extendidas en funciones de varias variables es la optimización; encontrar los puntos máximos y mínimos, estén sujetos a restricciones o no.


    Apuntes y ejercicios
    Sobre los multiplicadores de Lagrange
    • Apunte, University of South Dakota
    • Apunte, Universidad de Cantabria
    • Apunte, Universidad de Sevilla
    • Apunte, Universidad de Jaén
    • Apunte, Instituto Tecnológico de Monterrey
    • Apunte, Iowa State University
    • Apunte, Wolfram Math World
    • Apunte, University of Michigan
    • Apunte, Macquarie University 

    Cómo calcular máximos y mínimos globales en WolframAlpha

    Los ejemplos que ponemos a continuación son de funciones de forma f : R^2 --> R, z = f ( x , y ). No obstante, valen para todas las funciones f : R^n --> R. Escribimos:

    Para encontrar el/los máximo/s: "maximize" seguido de la función z = f ( x , y )
    maximize z = f ( x , y )
    ej, máximo de z = -(x^2 +y^2) se escribe maximize z = -(x^2 +y^2)


    Para encontrar el/los minimo/s: "minimize" seguido de z = f ( x , y )
    minimize z = f ( x , y )
    ej, minimo de z = (x^2 +y^2) se escribe minimize z = (x^2 +y^2)


    Cómo calcular máximos y mínimos sujetos a restricciones en WolframAlpha

    Dada una función f : R^n --> R y otra función g : R^n --> R = c, siendo c una constante real, llamamos g a la restricción de la función f. Es posible hallar los extremos de f con esa restricción específica en lugar de buscarlos globalmente; esto se hace con los multiplicadores de Lagrange (también se mencionan en los apuntes).

    Para los máximos: "maximize" seguido de la función "z = f ( x , y )" y luego "in g (x, y) = c".
    maximize z = f ( x , y ) in g ( x , y ) = c
    ej, maximize z = (x^2 +y^2) in x=5


    Para los mínimos: "minimize" luego "z = f ( x , y )" y después "in g ( x , y )"
    minimize z = ( x , y ) in g ( x , y ) = c
    ej; minimize z = (x^2 +y^2) in x=5

    Análisis II: vectores relevantes en WolframAlpha

    Cómo calcular el vector gradiente de una función en WolframAlpha


    Dada una función de forma f : R^n --> R (un campo escalar), se define el gradiente como un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. Para calcularlo escribimos "grad" seguido de la fórmula de f.


    grad f (x1, x2, ..., x n)


    ej; con z = f ( x , y ) = sin ((x^2)*y)
    escribimos grad sin ((x^2)*y)


    También podemos expresar el gradiente de funciones con coordenadas polares. Escribimos "grad" y la fórmula, identificando " r " como el módulo del punto y "theta" como el ángulo formado.


    ej; z = f ( x , y ) = sqrt(r) cos(theta)
    ponemos grad sqrt(r) cos(theta).

    Cómo calcular el laplaciano de una función en WolframAlpha

    Escribimos "Laplace" seguido de la fórmula f ( x, y, ... z) de la función:
    ej; para f ( x , y) = e^x sin y
    ponemos Laplace e^x sin y

    Cómo calcular la divergencia de un campo vectorial en WolframAlpha

    Dado un campo vectorial de forma F : R^n --> R^m escribimos "div" seguido de la fórmula de F
    ej; divergencia de F ( x , y ) = (x^2-y^2, 2xy)


    se escribe div (x^2-y^2, 2xy)

    Cómo calcular el rotacional de un campo vectorial en WolframAlpha

    Dado un campo vectorial F : R^n --> R^m escribimos "curl" seguido de la fórmula de F
    ej; rotacional de F ( x , y , z ) = (-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z)


    se pone curl [-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z]

    Un apunte útil: capítulo 4 de "Cálculo Vectorial" de marsden tromba

    Videos de Khan Academy

    Gradiente








    Divergencia





    Rotacional




    Análisis II: funciones implícitas y sus derivadas

    Algunas las funciones que se estudian en el cálculo se dan en forma explícita; es decir, una variable está en función de la otra. Sin embargo gran parte de ellas no lo están sino en forma implícita, insertadas en una ecuación.
    La derivación de las mismas se realiza con la regla de la cadena, aplicada en toda la ecuación. 
    A continuación apuntes sobre las funciones, sus derivadas y el teorema de la función implícita.

    Apuntes

    Teorema de función implícita

    • Apunte, Universidad Autónoma de Madrid
    • Apunte, Universidad Politécnica de Cataluña
    • Apunte, Wolfram Math World 
    • Apunte, Rice University
    • Apunte, University of Alberta
    • Apunte, Tel Aviv University
    • Apunte, Princeton University
    Derivación de funciones implícitas

    Cómo calcular derivadas implícitas en Wolfram Alpha

    Dada la ecuación que vamos a derivar, escribimos "implicit derivative" seguido de su fórmula.

    Ej, con la circunferencia de centro (0,0) y radio 2 dada por x^2 y ^2 = 4 escribimos:

    implicit derivative x^2 + y^2 = 4

    quedando


    por el procedimiento


    y el resultado


    Videos (Khan Academy)





    Análisis II: Funciones de varias variables y diferenciación

    De los primeros temas de la materia. Introduce a las funciones escalares de dos y más variables, con sus correspondientes operaciones y propiedades. Vemos cómo calcular sus limites y qué es el concepto de diferenciación.

    Apuntes
    Videos (de Khan Academy)